Aprende a Resolver Derivadas Algebraicas con este Formulario: Reglas de Derivación de Funciones Algebraicas

Reglas para derivar funciones algebraicas

• A.E. Luis Miguel Martínez Hernández, luismibt@aulacamir.com, Coatzacoalcos, Ver. México.
• Ing. Alejandra Lucía Paredes García, aleg@aulacamir.com, Zumpango, EdoMex., México.

📌 ¿Qué son las derivadas algebraicas?

Las derivadas algebraicas son aquellas que se aplican a funciones compuestas por polinomios, raíces, fracciones y potencias de variables. Aprender a derivar este tipo de funciones es fundamental en cálculo y en muchas aplicaciones de las matemáticas, la física, la economía y la ingeniería.

Formulario de Derivadas: Reglas de derivación algebraica

🧠 Reglas Básicas de Derivación

Aquí tienes el formulario con las principales reglas de derivación que necesitas dominar:

Regla de una función constante:

Sea $f(x)=c$, donde $c\in\mathbb{R}$ (es una constante), entonces la derivada de la función constante es igual a cero:

$$\frac{d(c)} {dx}=0$$

Regla de la función identidad:

Sea $f(x)=x$, es decir, que la función solo contiene a la variable independiente, es una función de identidad, por lo tanto, la derivada de la función identidad es igual a "1":

$$\frac{d(x)}{dx}=1$$

Regla para derivar un polinomio:

Sea $f(x)=u(x)\pm v(x) \pm w(x)$, entonces estamos hablando de una función polinómica en función de la variable $x$, por lo que la derivada de esta función es igual a la suma algebraica de la derivada de cada uno de los términos algebraicos que contiene el polinomio.

En palabras más simples, la derivada de la función polinómica es igual a derivar por separado, cada uno de los términos algebraicos que se encuentran en la función:

$$\frac{d(u\pm v \pm w)}{dx}=\frac{d(u)}{dx} \pm \frac{d(v)}{dx} \pm \frac{dw}{dx}$$

Regla para derivar el producto de una constante por una variable

sea $f(x)=(c\cdot v)$, estamos ante un producto de una constante por una variable. Para derivar esta función, se saca la constante de la función y se multiplica por la derivada del término que contiene la variable:

$$f(c\cdot v)=c\cdot \frac{d(v)}{dx}$$

Regla para derivar el producto de dos términos que contienen a la variable (Regla del producto):

Sea $f(x)=(u\cdot v)$, donde $u(x)$ y $v(x)$, es un producto de dos términos que contienen a la variable independiente $(x)$. Para derivar esta función, se suman el producto de cada variable con la derivada de la otra, es decir:

$$\frac{d(u \cdot v)}{dx}=u\cdot \frac{d(v)}{dx}+v\cdot \frac{d(u)}{dx}$$

Regla de la potencia:

Sea $f(x)=v^n$, donde $v$ es una $variable$ en función de $x$ "$v(x)$" y "$n$" es una potencia donde $n \not= 0$, entonces se refiere a una función de $x$ elevada a una potencia. Entonces la derivada de la función es:

$$\frac{d(v^n)}{dx}=n\cdot v^{(n-1)}\cdot \frac{d(v)}{dx}$$

Regla de la potencia de la función identidad:

Sea $f(x)=x^n$, es similar a la regla anterior, sin embargo en la regla de la potencia, al final se multiplica por la derivada del término que contiene a la variable, sin embargo, como en este caso el término es igual a la función identidad, y, como ya vimos en la regla para derivar la función identidad, la derivada de esta función es igual a 1, entonces la regla es:

$$\frac{d(x^n)}{dx}=n\cdot x^{(n-1)}\cdot (1)$$

$$\frac{d(x^n)}{dx}=n\cdot x^{(n-1)}$$

Regla del cociente:

Sea $f(x)=\frac{u}{v}$, es un cociente de dos términos que contienen a la variable independiente $x$, entonces la regla para derivar esta función es:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\cdot \frac{d(u)}{dx}-u\cdot \frac{d(v)}{dx}}{v^2}$$

Regla para derivar el cociente de una variable sobre una constante:

Sea $f(x)=\frac{u}{c}$, es el cociente de una variable dividida sobre una constante. Entonces la derivada de la función es:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{c}\right)=\frac{\frac{d(u)}{dx}}{c}$$

Regla de la cadena

Si tienes una función compuesta $y = f(v(x))$, la regla de la cadena establece que su derivada con respecto a x es: 

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}$$

El aprendizaje de las derivadas no tiene que ser complicado si tienes un formulario claro como guía. Dominar estas reglas te abrirá las puertas a resolver problemas más complejos en cálculo y otras áreas.

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